Poissonregressie

Poissonregressie is een vorm van een gegeneraliseerd lineair model (GLM) dat wordt gebruikt voor tellingen. Bij Poissonregressie wordt de afhankelijke variabele Y_i verondersteld Poisson verdeeld te zijn met een gemiddelde μ_i, en wordt μ_i gekoppeld aan de covariaten via een log-link: log(μ_i) = X_iβ + offset_i. Een veelgebruikte offset is offset_i = log(exposure_i), waarmee tellingen per eenheid blootstelling (bijvoorbeeld personeelsuren, tijd of afstand) gemodelleerd kunnen worden. Zonder expliciete exposure kan μ_i ook direct als exp(X_iβ) worden geschreven.

Interpretatie van de coeficiënten: voor een covariaat x_j geldt exp(β_j) als de relatieve verandering in de verwachte telling per eenheidstoename van x_j, bij gelijkblijvende exposure. De modellen worden doorgaans geschat via maximum likelihood. Diagnostiek omvat onder meer deviance en Pearson-residuen; bij aannames van equidispersion (waar de variantie gelijk is aan de mean) kan dit adequaat zijn, maar bij overdispersie moet men alternatieven overwegen.

Assumpties en varianten: de basisaannames zijn onafhankelijke tellingen en μ_i = E[Y_i] zoals gespecificeerd. Overdispersie (waar Var(Y_i) > μ_i) leidt tot onderschatte standaardfouten. Remedies zijn onder meer quasi-Poisson of negatieve binomiale modellen. Er zijn ook uitbreidingen zoals zero-inflated Poisson, en Poisson met random effecten (mixed-effects) om clustering te modelleren.

Toepassingen en software: Poissonregressie wordt veel toegepast in epidemiologie en sociale wetenschappen om incidencerates of gebeurtenisfrequenties te modelleren. In statistische software wordt het vaak geïmplementeerd met GLM-familie poisson en een offset-term, bijvoorbeeld in R via glm(..., family = poisson(link = "log"), offset = log(exposure)).