PoissonMischmodelle

PoissonMischmodelle sind statistische Modelle für Zähldaten, die davon ausgehen, dass die beobachteten Werte aus einer Mischung mehrerer Poisson-Verteilungen mit unterschiedlichen Ratenparametern stammen. Sie adressieren latente Heterogenität und Überdispersion, indem sie verschiedene Unterpopulationen oder Klassen mit eigenen Mittelwerten trennen. Anwendungen finden sich in Bereichen wie Epidemiologie, Kriminalitätsstatistik, Versicherungssch Claims und Genexpressionsanalysen.

Formell wird yi aus einer Mischung von K Poisson-Verteilungen generiert: y_i | z_i=k ~ Poisson(lambda_k) und P(z_i=k)=pi_k, wobei pi_k>0 und sum_k pi_k = 1. Die marginale Verteilung von y_i ist dann P(y_i) = sum_{k=1}^K pi_k Poisson(y_i | lambda_k). Typische Parameter sind die Mischgewichte pi_k und die Komponentenslaten lambda_k. Inferenz erfolgt häufig mit dem Erwartungs-Maximierungs-Algorithmus (EM). Im E-Schritt berechnen sich die Verantwortlichkeiten r_{ik} = pi_k Poisson(y_i | lambda_k) / sum_j pi_j Poisson(y_i | lambda_j). Im M-Schritt werden pi_k = (1/n) sum_i r_{ik} und lambda_k = sum_i r_{ik} y_i / sum_i r_{ik} aktualisiert. Optional lassen sich Covariates oder Offsets in die Modellstruktur integrieren.

Wichtige Aspekte sind Identifiabilität und Modellwahl. Die Komponenten sind durch Permutation der Labels äquivalent (Label-Switching). Die Wahl der Anzahl der Komponenten K erfolgt üblicherweise über Kriterien wie AIC oder BIC, oder durch Bayes-Likelihood-Ansätze. Erweiterungen umfassen null-inflated Poisson-Mischmodelle, nichtparametrische Mischungen (Dirichlet-Prozess) und Bayesianische Ansätze. Als verwandte Modelle gelten Poisson-Gamma-Mischmodelle, die eine Negative-Binomial-Verteilung erzeugen und Überdispersion ebenfalls modellieren können.