PoissonAnkünfte

Poissonankünfte beschreiben die Modellierung von Ankünften mit dem Poissonprozess. In vielen Anwendungsfeldern wird angenommen, dass Ankünfte unabhängig auftreten und die Häufigkeit pro Zeitraum konstant ist. Für einen Zeitraum mit Länge t wird die Anzahl der Ankünfte durch eine Poisson-Verteilung mit Parameter λt beschrieben, wobei λ die durchschnittliche Ankunftsrate pro Zeiteinheit ist. In kleinen Zeitintervallen ist die Wahrscheinlichkeit mehrerer Ankünfte vernachlässigbar.

Eigenschaften: Die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Ankünften sind exponentiell verteilt mit Parameter λ (Speicherlose Eigenschaft). Der Zählprozess N(t) – die Anzahl der Ankünfte bis zum Zeitpunkt t – folgt einer Poisson-Verteilung mit Erwartung λt und Varianz λt. Die Prozessinkrementen sind unabhängig und stationär.

Formeln: P(N(t)=k) = e^{-λt} (λt)^k / k!; E[N(t)]=λt; Var[N(t)]=λt; E[W_i]=1/λ; W_i sind unabhängige Exponential(λ) Interarrivalzeiten.

Anwendungen und Einschränkungen: Häufig in Warteschlangentheorie, Telekommunikation, Kundenservice, Risikomodellierung. Vorteile: einfache Analyse, geschlossene Formeln. Einschränkungen: Annahme konstanter Rate (homogen), Unabhängigkeit, keine Zeitabhängigkeit; bei Zeitvariationen spricht man von nicht-homogenen Poissonprozessen; bei Clustering oder Abhängigkeiten muss anderes Modell her.

Begriffsklärung: Poisson-Ankünfte als Spezifikation des Ankunftsprozesses; Abgrenzung zu Poisson-Verteilung: Letztere beschreibt Wahrscheinlichkeiten über zählbare Ereignisse in einem festen Intervall.