PoincaréDiskmodell

Das Poincaré-Diskmodell ist ein konformes Modell der zweidimensionalen Hyperbolischen Geometrie. Es verwendet den offenen Einheitskreis D = { z ∈ C : |z| < 1 } als Darstellungsraum und statt einer gewöhnlichen Metrik eine spezielle hyperbolische Metrik. In diesem Modell wird die hyperbolische Ebene durch Punkte des Diskes repräsentiert, während der Rand des Kreises als Punkt(en) unendlicher Entfernung erscheint.

Das infinitesimale Abstandsmaß lautet ds = 2|dz| / (1 - |z|^2). Der hyperbolische Abstand zwischen zwei Punkte z, w ∈ D ist gegeben durch d(z,w) = arcosh(1 + 2|z - w|^2 / ((1 - |z|^2)(1 - |w|^2))). Geodäten sind Kreisbögen oder Geraden, die orthogonal zum Randkreis des Einheitskreises stehen; sie fungieren als kürzeste Verbindungswege im Modell. Das Diskmodell ist konform, das heißt, es bewahrt Winkel zwischen Kurven.

Die Gruppe der Isometrien des Modells besteht aus den Möbius-Transformationen, die den Einheitskreis invariant halten (entsprechend der Gruppe PSU(1,1)). Das Poincaré-Diskmodell lässt sich durch konforme Abbildungen mit anderen Modellen der Hyperbolischen Geometrie verbinden, insbesondere mittels der Cayley-Transformation mit dem Poincaré-Halbebenenmodell sowie dem Klein-Modell. Es wird häufig in der Schule und Universität genutzt, um hyperbolische Geometrie anschaulich zu visualisieren, und spielt eine zentrale Rolle in der komplexen Analysis sowie in Geometrie- und Visualisierungskonzepten.