MöbiusTransformationen

MöbiusTransformationen, auch fractionale lineare Abbildungen genannt, sind Abbildungen der komplexen Ebene in sich der Form f(z) = (az + b)/(cz + d) mit komplexen Koeffizienten a, b, c, d und ad − bc ≠ 0. Zwei Matrizen, die sich mit einem gemeinsamen Skalar λ ≠ 0 unterscheiden, beschreiben dieselbe Abbildung; daher werden sie oft als Elemente von PSL(2, C) bzw. PGL(2, C) betrachtet.

Sie wirken auf der erweiterten komplexen Ebene, dem Riemannsphäre, einschließlich des Unendlichkeitspunkts. Die Transformation erweitert sich auf ∞ durch f(∞) = a/c, sofern c ≠ 0; falls c = 0 gilt f(∞) = ∞. Allgemein ordnen sie Geraden und Kreise der Form „allgemeiner Kreis“ einer anderen Form zu: Bilder von Kreisen oder Geraden sind wieder Kreise oder Geraden. Sie sind konform (abgesehen von möglichen Unendlichkeitspunkten) und bilden die Automorphismen der Riemannsphäre.

Möbiustransformationen lassen sich durch Matrizen darstellen. Die Koeffizienten sind nicht eindeutig, da Multiplikation mit λ ≠ 0 dieselbe Abbildung ergibt. Die Gruppe der Transformationen ist damit PSL(2, C) (oder PGL(2, C) bei Berücksichtigung von Skalaren). Sie bewahren das Kreuzverhältnis von vier Punkten und damit die projektive Struktur der Ebene.

Die Transformationen lassen sich klassifizieren, häufig über den Betrag des Traces nach Normalisierung der Determinante (det = ad − bc = 1). Elliptisch, wenn |tr| < 2; parabolisch, wenn |tr| = 2; loxodromisch bzw. hyperbolisch, wenn |tr| > 2. Diese Typen unterscheiden sich durch Fixpunkte und Abstandsmuster ihrer Orbits; sie treten in der Geometrie, der Hyperbolischen und der konformen Abbildungslehre auf.

Beispiele: z → z + 1 (Translationsgruppe), z → −1/z (Inversionen), z → (z − i)/(z + i) (Karten zwischen oberen Halbraum und Einheitskreis). Anwendungen finden sich in der komplexen Analysis, geometrischer Funktionentheorie, der Hyperbolik und der Modellierung von Modulenformen.