Permutationsparität

Permutationsparität ist in der Kombinatorik die Eigenschaft einer Permutation, gerade oder ungerade zu sein. Eine Permutation σ aus der symmetrischen Gruppe S_n ist gerade, wenn sie als Produkt einer geraden Anzahl von Transpositionen dargestellt werden kann; andernfalls ist sie ungerade. Die Parität einer Permutation wird mit dem Vorzeichen oder Signum sgn(σ) ∈ {+1, −1} zusammengefasst.

Gängige Charakterisierungen der Parität

- Inversionen: Für eine Permutation σ als Folge a_1, …, a_n gilt inv(σ) als die Anzahl der Paare i < j mit a_i > a_j. Die Parität erfüllt sgn(σ) = (−1)^{inv(σ)}.

- Zyklenzerlegung: Wenn σ in Zyklen zerfällt und c(σ) die Anzahl der Zyklen (einschließlich fixierter Punkte) ist, dann sgn(σ) = (−1)^{n−c(σ)}.

- Gruppenhomomorphismus: Die Parität ist eine Homomorphie sgn: S_n → {±1}, d.h. sgn(στ) = sgn(σ)·sgn(τ).

Beispiele

- Eine Permutation wie (2,1,3) hat eine Inversion und ist ungerade.

- (2,3,1) besitzt zwei Inversionen und ist gerade.

- (3,2,1) hat drei Inversionen und ist ungerade.

Anwendungen

Die Parität spielt eine zentrale Rolle im Leibniz-Determinantenverfahren, bei dem der Signus jeder Zeile des Terms berücksichtigt wird. Sie bestimmt auch Eigenschaften von alternierenden Tensoren und orientierten Objekten in der Gruppentheorie. Die Parität ist invariant untereinander assoziierte Operationen und dient als einfaches Kriterium für die Vergleichbarkeit von Permutationen.