OLSVerfahren

Das OLS-Verfahren (Ordinary Least Squares) ist eines der gebräuchlichsten Verfahren zur Schätzung der Parameter eines linearen Regressionsmodells. Ziel ist es, die Parameter β so zu bestimmen, dass die Summe der quadrierten Residuen zwischen den beobachteten Werten y und den durch das Modell vorhergesagten Werten minimiert wird. Das lineare Modell hat typischerweise die Form y = Xβ + ε, wobei X die Designmatrix der Regressoren, β der Vektor der Koeffizienten und ε der Fehlervektor ist. Unter Standardannahmen gilt E[ε|X] = 0 und Var(ε|X) = σ^2 I; bei zusätzlichen Annahmen, insbesondere Normalverteilung der Fehler, ermöglichen sie zuverlässige Inferenz.

Die analytische Lösung ergibt sich, sofern X vollständigen Spaltenrang hat, zu β̂ = (X'X)^{-1}X'y. Die Schätzung ist unter dem Gauss-Markov-Satz BLUE (beste lineare, unverzerrte Schätzer) bei Homoskedastizität und fehlender Autokorrelation. Für Normalfehler liefert OLS außerdem die Grundlage für genaue Hypothesentests und Konfidenzintervalle.

Maße der Anpassung sind R² und angepasstes R²; Informationen zur Signifikanz der Koeffizienten erfolgen über t-Tests (und F-Tests für multiple Koeffizienten). Die Robustheit der Schlussfolgerungen gegenüber Verletzungen der Annahmen kann durch robuste Standardfehler oder durch alternative Modelle wie GLS verbessert werden, insbesondere bei Heteroskedastizität oder Autokorrelation.

Wichtige Einschränkungen: OLS ist empfindlich gegenüber Ausreißern und falsch spezifizierten Modellen; Multikollinearität kann die Stabilität der Koeffizienten beeinträchtigen. Trotzdem bleibt es ein zentrales Verfahren in Statistik und empirischer Forschung, weit verbreitet in Ökonomie, Sozialwissenschaften und Naturwissenschaften.