Nullinitialbedingungen

Nullinitialbedingungen bezeichnet in der Mathematik und in der Regelungstechnik die Anfangsbedingungen eines zeitabhängigen Problems, bei denen der Zustand des Systems zum Startzeitpunkt null ist. Typischerweise wird dies t = 0 gewählt, sodass der Anfangszustand x(0) oder y(0) gleich null ist. Solche Bedingungen vereinfachen die Analyse, weil die Reaktion des Systems dann direkt durch die Eingabe oder durch innere Dynamik bestimmt wird, ohne zusätzliche Anfangseffekte berücksichtigen zu müssen.

In der System- und Regelungstechnik wird oft zwischen Nullzustand (zero-state) und Null-Inertialzustand (zero-input) unterschieden. Nullinitialbedingungen beziehen sich hier darauf, dass der Zustand des Systems zum Startzeitpunkt unbekannter oder vernachlässigbar ist, sodass die gemessene Reaktion aus Eingabe und Systemdynamik resultiert. Bei linearen zeitinvarianten Systemen führt dies dazu, dass die Nullzustandsantwort durch Faltung der Eingabe mit der Impulsantwort des Systems gegeben ist.

Beispiele verdeutlichen das Prinzip. Betrachte eine lineare Differentialgleichung dx/dt = a x + b u(t) mit x(0) = 0. Die Lösung ist x(t) = ∫0^t e^{a(t-τ)} b u(τ) dτ. Wenn die Anfangsbedingung nicht null wäre, könnte zusätzlich eine homogene Lösung erscheinen, die die Nullzustandsantwort verfälscht.

In der Praxis werden Nullinitialbedingungen oft bei der Bestimmung von Impulsantworten, Transferfunktionen oder bei der Simulation von Systemen genutzt, um den Einfluss initialer Zustände zu eliminieren und die Reaktion ausschließlich auf Eingaben zu beziehen.