Nimellisarvot

Nimellisarvot (engl. eigenvalues) ovat lineaarialgebran keskeisiä käsitteitä, jotka liittyvät neliömatriiseihin ja lineaarisiin muunnoksiin. Jos A on n×n-matriisi, jokin skalaari λ on nimellisarvo, jos löytyy ei-nolla vektori v, jolla Av = λv. Tällöin v on nimelliski vectori (eigenvektori) ja λ on sen nimeellisarvo.

Nimellisarvot ovat juuri niitä arvoja, joille ominaisyhtälö det(A − λI) = 0 antaa ratkaisut. Tämä on ominaispolynomi p(λ) = det(A − λI) juuret. Kun kerroinmatriisi A on reaali- tai kompleksiluvuilla, nimellisarvojen arvojen voi olla real tai kompleksinen; jos matriisi on reaali, kompleksiset nimellisarvot tulevat pareja, jotka ovat toistensa kompleksisessa konjugaatissa.

Geometriset ja algebraiset kertalukuarvot kuvaavat nimellisarvojen ominaisuuksia. Algebrinen kertymä on λ:n kertavuus ominaispolynomissa, kun taas geometrinen kertymä on nimellisarvojen eigensamojen dimensio. Jos matriisilla on riittävästi lineaarisesti itsenäisiä eigenvektoreita, se on diagonaalisoitavissa: on olemassa invertibel P, such that P⁻¹AP = diag(λ1, λ2, ..., λn). Tämä ei aina pidä paikkansa; yleisesti A voidaan esittää Jordan-formissa.

Suuria sovelluksia ovat differentiaali- ja lineaariset järjestelmät, epälineaaristen järjestelmien stabiliteetti, värähtelyanalyysi sekä tilastotieteen, kuten PCA:n, perusta, missä nimellisarvot ja niiden eigenvektorit määrittelevät dataa kuvaavat suuntia.

Esimerkki: A = [[2, 1], [0, 3]]: ominaispolynomi on (2 − λ)(3 − λ), joten nimellisarvot ovat λ1 = 2 ja λ2 = 3. Jokaiselle λ:lle löytyy vastaava eigenvektori.