eigenvektorit

Eigenvektorit eli ominaisvektorit ovat neliömatriisin A ≠ 0 sellaisia vektoreita v ≠ 0, joille pätee A v = λ v, missä λ on skalaari ominaisarvo. Toisin sanoen A muuttaa v:n ainoastaan pituuttaan; suunta säilyy. Ominaisvektorit löytyvät ratkaisemalla (A − λI)v = 0, missä I on identiteettimatriisi. Ominaisarvot λ ratkaistaan det(A − λI) = 0, jolloin saadaan polynomi, jonka juuret ovat A:n ominaisarvot. Jokaiselle ominaisarvolle λ määritellään eigenspace, jonka vektorit täyttävät (A − λI)v = 0 ja jotka ovat ei-nollia. Ominaisarvot voivat olla reaalisia tai kompleksisia; reaalisten matriisien kompleksiset ominaisarvot tulevat usein pareina.

Geometrisesti ominaisvektorit kuvaavat suuntia, joiden alkiot säilyttävät suunnan matriisin A toiminnan jälkeen. Jos ominaisarvot ovat erillisiä, niiden ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Matriisi A on diagonaalisoituva, jos siihen löytyy P, jonka kolumnit ovat ominaisvektoreita, siten että P⁻¹AP = D, missä D on diagonaalinen matriisi ominaisarvoilla λi. Geometrisesti tämä tarkoittaa, että A:lla on samaa muotoa kuin skaalaus useissa suunnissa.

Ominaisarvojen ja ominaisvektorien laskenta liittyy sekä teoreettisiin että numeerisiin menetelmiin. Yleisessä tapauksessa ratkaistaan det(A − λI) = 0 ja sitten (A − λI)v = 0. Numerisesti käytetään myös voima-iterointia sekä käänteistä iteraatiota ja QR-algoritmia.

Sovelluksia ovat dynamiikan ja lineaaristen järjestelmien analyysi, Markov-ketjut,Principal Component Analysis, tilastolliset menetelmät sekä mekaniikka ja grafiikkasovellukset.