eigenvektoreita

Eigenvektorit ovat neliömatriisin A ominaisuuksia, joissa olemassa on ei-nolla vektori v ja vastaava skalar λ siten Av = λv. Tässä v on eigenvektori (tai ominaisvektori) ja λ sen eigenarvo. Tämä tarkoittaa, että matriisi A skaalautuu säilyttäen suunnan v, jolloin v on invariantti suunta.

Ominaisarvot ja -vektorit löytyvät ratkaisemalla charakteristinen yhtälö det(A − λI) = 0. Kunkin λ:lle ratkaisu (A − λI) v = 0 määrittelee eigenspacen E_λ, joka koostuu kaikista kyseiselle λ:lle vektoreista sekä nollavektorin lisäksi. Eigenspace on geometrian näkökulmasta määritelty ja sen mitat kertovat lamplon geometrisista ominaisuuksista.

Diagonaalisoituminen on olennainen käsite: jos matriisilla on riittävästi lineaarisesti erillisiä eigenvektoreita, koko tila voidaan muodostaa eigenvektoreista, ja A on diagonaalisoitavissa: on invertible P, jolla P^−1 A P = D, missä D on diagonaalinen matriisi, jonka diagonaalilla ovat ominaisarvot. Tässä kummankin ominaisarvon geometrinen moninkertaisuus (E_λ:n dim) voi olla pienempi kuin algebraic multiplicity Eli matriisi ei välttämättä ole diagonaalisoitavissa, jolloin sen Joran normaalimuoto on hyödyllinen.

Realistisissa sovelluksissa ominaisarvot voivat olla kompleksisia, vaikka lähtötilanteen matriisi olisi reaalinen. Käytännössä ominaisarvoja ja -vektoreita lasketaan numeerisesti; tavallisia menetelmiä ovat QR-algoritmi ja voima-iterointi suuremman ominaisarvon löytämiseksi.

Sovellukset kattavat muun muassa PCA:n kaltaiset tilan pienentämis- ja datan tulkintamenetelmät, normaalit tilan analyysin modaliteetit, sekä Markov-ketjujen ja verkkoanalyysien rakenteelliset ominaisuudet. Eigenvektorit tarjoavat kehyksen, jolla monimutkaisia lineaarisia muunnoksia voidaan ymmärtää ja tulkita muutoksen suunnan ja mittakaavan kautta.