diagonaalisoitavissa

Diagonaalisoituvuus tarkoittaa ominaisuutta, jossa n×n-matriisi A voidaan esittää diagonaalisena tasomaisen muunnoksen avulla. Tämä tapahtuu, kun on olemassa invertible P ∈ GL(n, F) ja diagonaalinen D ∈ M_n(F) siten P^{-1} A P = D. Diagonaalimuodossa A:n diagonaalilla on A:n ominaisarvot λ_1, ..., λ_n, ja nämä arvot toistuvat D:n diagonaalilla.

Diagonaalisoituvuus merkitsee myös sitä, että matriisilla on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria, jotka muodostavat kannan. Toisin sanoen A on diagonaalisoitavissa over F, iff sille löytyy basis v_1, ..., v_n, joissa A v_i = λ_i v_i. Tämän seurauksena A on samankaltainen diagonaaliselle matriisille D = diag(λ_1, ..., λ_n).

Kriteerit: A on diagonaalisoitavissa over F, jos ja vain jos sen ominaisvektoreista voidaan muodostaa koko n:n mittainen basis, eli jokaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku summana vastaa algebrallista kertalukua, ja näiden summien summa on n. Erityisesti, jos A:lla on n erillistä ominaisarvoa F:ssa, A on automaattisesti diagonaalisoitavissa over F. Toisaalta, jos miniminpolynomi ei jaa erillisiin lineaarisiin tekijöihin, A ei ole diagonaalisoitavissa.

Esimerkit: Yksinkertainen esimerkki on A = diag(λ_1, ..., λ_n), joka on triviaalisti diagonaalisoitavissa. Toisaalta matriisi [[0, 1], [0, 0]] ei ole diagonaalisoitavissa, koska sen ainoa ominaisarvo on 0 mutta siihen liittyy vain yksi ominaisvektori. Real- ja kompleksikenttien ero vaikuttaa myös diagonaalisoituvuuteen: matriisi voi olla diagonaalisoitavissa C-alkuvassa, mutta ei välttämättä R-alkuvassa, jos siihen liittyvät ominaisarvot eivät ole realisia.

Sovellukset: Diagonalisoituvuus helpottaa matriisien korkean potenssin laskemista ja lineaaristen järjestelmien ratkaisua sekä spektraalianalyysiä ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen muodostamista.