ominaisvektoreista

Ominaisvektorit ovat matemaattisia käsitteitä, jotka liittyvät lineaarimuunnoksiin ja matriiseihin. Ne ovat erityisen tärkeitä lineaarialgebrassa ja sen sovelluksissa. Ominaisvektori on nollasta poikkeava vektori, joka muuttuu lineaarisessa muunnoksessa vain skaalautumalla. Toisin sanoen, kun matriisi A kerrotaan ominaisvektorilla v, tuloksena on sama vektori v kerrottuna jollakin skalaarilla λ. Tätä suhdetta kuvataan yhtälöllä Av = λv.

Skalaari λ, jolla ominaisvektori skaalautuu, tunnetaan ominaisarvona. Jokaisella neliömatriisilla voi olla yksi tai useampi ominaisvektoripari ja ominaisarvo. Ominaisarvot ja ominaisvektorit kertovat paljon matriisin edustaman lineaarisken muunnoksen luonteesta. Ne auttavat ymmärtämään, mihin suuntiin muunnos venyttää tai kutistaa avaruutta.

Ominaisvektoreiden ja ominaisarvojen laskeminen on perustavanlaatuinen toimenpide monissa tieteen ja tekniikan aloilla. Niitä käytetään esimerkiksi kuvankäsittelyssä, datan pakkaamisessa, kvanttimekaniikassa, värähtelyanalyyseissä ja tilastollisissa menetelmissä, kuten pääkomponenttianalyysissä. Ominaisvektoreiden löytäminen vaatii yleensä karakteristisen polynomin ratkaisemista, joka saadaan vähentämällä ominaisarvon λ kerrottuna identiteettimatriisilla matriisista A ja laskemalla tämän determinantti nollaksi.