Diagonaalisoituminen

Diagonaalisoituminen tarkoittaa neliömatriisin A samankaltaistamista diagonaalimuotoon. Tämä tarkoittaa, että on olemassa invertible P sellainen, että P^{-1} A P = D, jossa D on diagonaalinen ja sen diagonaalilla ovat A:n ominaisarvot. P:n sarakkeet muodostavat A:n ominaisvektoreita, ja D:ssa ne ominaisarvot ovat omisina diagonaalilla.

A on diagonaalisoituva, jos sillä on täydellinen joukko lineaarisesti erillisiä ominaisvektoreita. Tällöin on olemassa P ja diagonaalinen D siten, että A = P D P^{-1}. Käytännössä tämä tarkoittaa, että jokaisella ominaisarvolla on riittävästi ominaisvektoreita ja A:n tila voidaan kuvata erillisiin mittasuhteisiin.

Riittäviä ehtoja diagonaalisoitumiselle ovat esimerkiksi: (1) karakteristinen polynomi jakautuu erillisiin lineaarisiin tekijöihin ja jokaisen ominaisarvon geometrinen kertalukumäärä on yhtä suuri kuin sen algebraattinen kertalukumäärä; tai (2) minimi_polynomi ei sisällä toistuvia juuria. Näiden ehtojen täyttyessä A on diagonaalisoituva.

Diagonaalisoitumisella on tärkeitä sovelluksia. Jos A on diagonaalisoituva, sen potenssien lasku helpottuu: A^k = P D^k P^{-1}. Tämä ominaisuus yksinkertaistaa esimerkiksi lineaaristen järjestelmien ratkaisemista, differentiaaliyhtälöjä sekä joidenkin tietotekniikan ja signaalinkäsittelyn sovellusten laskentaa.