Netzfunktionen

Netzfunktionen sind Begriffe aus der Topologie und der Ordnungstheorie, die Abbildungen beschreiben, die Netze zwischen topologischen Räumen so behandeln, dass Konvergenz von Netzen erhalten bleibt. Ein Netz ist eine Verallgemeinerung einer Folge, deren Indizes durch eine gerichtete Menge geordnet sind. Gegeben zwei topologische Räume X und Y ist eine Abbildung f: X → Y eine Netzfunktion, wenn für jedes Netz (x_α) in X, das gegen x konvergiert, das Netz (f(x_α)) in Y gegen f(x) konvergiert. Diese Bedingung ist eine Form der Stetigkeit: Eine Abbildung ist stetig genau dann, wenn sie Netze, die in X konvergieren, so abbildet, dass ihre Bilder in Y gegen das Bild des Grenzwertes konvergieren.

Netzfunktionen lassen sich unter Komposition verknüpfen, und die Identität ist eine Netzfunktion.

In ersten Zählräumen reduzieren Netze auf Folgen, sodass Stetigkeit auch durch Folgen beschrieben werden kann, während Netze in allgemeineren Räumen notwendig sind.

Beispiele: Die Identität f(x)=x ist eine Netzfunktion; eine konstante Abbildung f(x)=y0 ist ebenfalls eine Netzfunktion; eine Abbildung, die Netze nicht ordentlich auf Netze abbildet, ist keine Netzfunktion.

Netzfunktionen spielen in der allgemeinen Topologie eine zentrale Rolle bei der formalen Charakterisierung von Stetigkeit, Grenzwerten und kompakten Eigenschaften; sie liefern eine einheitliche Sprache, die auch in der Analysis, Maß- und Funktionalanalysis genutzt wird.