MetrikEigenschaften

MetrikEigenschaften befasst sich mit den grundlegenden Eigenschaften, die eine Abbildung d: X×X → [0,∞) erfüllen muss, damit sie als Metrik auf einer Menge X gilt. Eine Metrik erfüllt vier zentrale Bedingungen: Nicht-Negativität (d(x,y) ≥ 0), Identität der Ununterscheidbaren (d(x,y) = 0 genau dann, wenn x = y), Symmetrie (d(x,y) = d(y,x)) sowie die Dreiecksungleichung (d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) für alle x, y, z in X). Aus diesen Eigenschaften folgt, dass die Metrik Entfernungen misst und die Seite zu einer dazugehörigen Topologie bildet.

Durch eine Metrik erhält X eine Metriktopologie, in der offene Kugeln B(x,r) = {y in X : d(x,y) < r} als Basis dienen. Über diese Topologie lassen sich Begriffe wie Konvergenz, Stetigkeit, Cauchy-Folgen und Vollständigkeit definieren. Eine Folge x_n konvergiert gegen x, falls d(x_n, x) → 0; eine Folge ist genau dann Cauchy, wenn die Abstände d(x_n, x_m) für n,m gegen unendlich gegen 0 streben. Eine vollständige Metrik bedeutet, dass jede Cauchy-Folge in X konvergiert.

Typische Beispiele sind die euklidische Metrik d_2 in R^n, die Manhattan- bzw. L1-Metrik d_1, der Supremum- bzw. L∞-Abstand d_∞ sowie die allgemeine p-Norm-Metrik d_p(x,y) = (sum_i |x_i−y_i|^p)^{1/p}. Eine diskrete Metrik definiert d(x,y) = 1 für x ≠ y und 0 sonst, wodurch die Diskretomtopologie entsteht. Ultrametriken, die die stärkere Dreiecksungleichung d(x,z) ≤ max{d(x,y), d(y,z)} erfüllen, treten z. B. in p-adischen Kontexten auf.

Metriken können äquivalent zueinander sein, d.h. sie erzeugen dieselbe Topologie, wenn existieren positive Konstanten c1, c2 mit c1 d1 ≤ d2 ≤ c2 d1. Diese Eigenschaften bilden das Fundament der Analyse in metrischen Räumen.