Mantelfunktionen

Mantelfunktionen bezeichnet in der Geometrie die Funktionen, die den Mantel (die seitliche Fläche) eines Rotationskörpers beschreiben. Sie sind die Generierungsfunktionen, aus denen die Mantelfläche durch Rotation entsteht. Typischerweise wird eine Kurve y = f(x) in der x-y-Ebene um die x-Achse rotiert, wodurch ein Körper der Rotation entsteht, dessen Mantelfläche durch die Funktion f definiert wird.

Parametrisierung und Darstellung: Wenn die Generierungsfunktion f definiert ist für x im Intervall [a, b], lässt sich der Mantel des Rotationskörpers durch die Parameterisierung X(x, θ) = (x, f(x) cos θ, f(x) sin θ) mit θ ∈ [0, 2π) beschreiben. In zylindrischen Koordinaten gilt r = f(x) und z = x. Die Menge der Mantelfunktionen umfasst alle möglichen f, die eine Rotationsfläche erzeugen.

Flächeninhalt und Beispiele: Die Mantelfläche hat die Fläche

S = 2π ∫_{a}^{b} f(x) sqrt(1 + (f′(x))^2) dx.

Beispiele:

- Zylinder: f(x) = R konstant, S = 2πR(b−a).

- Kegel: f(x) proportional zu x, führt zu Mantelfläche S = πR·l mit l als Mantellinienhöhe.

- Kugel: Rotiert man eine Halbkreisfunktion f(x) = sqrt(R^2 − x^2), erhält man die Mantelfläche der Kugel mit S = 4πR^2.

Generalisierung und Anwendungen: Das Konzept lässt sich auf beliebige Flächen der Rotation erweitern. Mantelfunktionen sind relevant in Technik, Architektur und Computergrafik, wo shell-ähnliche Strukturen oder Oberflächenmodelle durch Generierungsfunktionen beschrieben werden.

Siehe auch: Mantelfläche, Oberfläche, Fläche von Rotation, Parametrisierung.