LyapunovStabilität

Lyapunov-Stabilität bezeichnet in der Systemtheorie die Stabilität von Gleichgewichtspunkten oder Trajektorien bezogen auf kleine Störungen der Anfangsbedingungen. Sie basiert auf der Idee, dass sich Trajektorien in der Nähe eines Gleichgewichts möglichst nicht weit entfernen, wenn sie dort gestartet werden.

Definition

Sei dx/dt = f(x) ein dynamisches System mit Gleichgewichtspunkt x*, also f(x*) = 0. Dann heißt x* stabil nach Lyapunov, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodass gilt: ||x(0) − x*|| < δ ⇒ ||x(t) − x*|| < ε für alle t ≥ 0. Unterscheidet man zusätzlich, ob die Trajektorie tatsächlich zu x* konvergiert, spricht man von asymptotischer Stabilität.

Lyapunov-Funktion

Die zentrale Methode besteht in einer geeigneten Funktion V: D ⊂ R^n → R, V(x*) = 0, V(x) > 0 für x ≠ x*, und deren Ableitung entlang der Systemtrajektorien erfüllt dV/dt ≤ 0. Für zeitunabhängige Systeme gilt dV/dt = ∇V(x)·f(x). Ist dV/dt < 0 für alle x ≠ x*, folgt asymptotische Stabilität. Sind nur dV/dt ≤ 0 gegeben, liefert V Stabilität nach Lyapunov.

Global vs. lokal

Wenn V gleichzeitig positive definit ist und D unbeschränkt ist, kann man globale Stabilität beweisen. Oft genügt jedoch eine lokale Konstruktion von V in einer Umgebung von x*, was eine lokale Stabilität sichert.

Lineare Systeme

Bei dx/dt = Ax lässt sich mit V(x) = xᵀPx (P > 0) der Ausdruck dV/dt = xᵀ(AᵀP + PA)x erhalten. Die Bedingung AᵀP + PA < 0 liefert eine asymptotische Stabilität.

Anwendung und Einschränkungen

Lyapunov-Funktionen liefern hinreichende, aber nicht notwendige Bedingungen für Stabilität. Ihre Konstruktion ist oft kreativ und systemabhängig; Existenz eines geeigneten V garantiert jedoch Stabilität, ohne die genaue Trajektorie zu beschreiben. LaSalle’s Invarianzprinzip erweitert die Aussagen, wenn dV/dt ≤ 0 gilt.