LogWikelihoodbasierte

LogWLikelihoodbasierte Ansätze beziehen sich auf statistische Methoden, die die Log-Likelihood-Funktion verwenden, um Parameter zu schätzen, Modelle zu vergleichen und Hypothesen zu prüfen. Die Logarithmierung wandelt Produkte von Wahrscheinlichkeiten in Summen um, erhöht die numerische Stabilität und erleichtert Ableitungen.

Grundlagen: Gegeben seien Daten x und ein Modell mit Parameter θ. Die Likelihood L(θ|x) = p(x|θ) und die Log-Likelihood l(θ) = log L(θ|x). Die Maximum-Likelihood-Schätzung θ_hat = argmax_θ l(θ) wird verwendet. Unter Regularitätsbedingungen ist θ_hat konsistent, asymptotisch normal und effizient; die Varianz wird durch die Fisher-Information bestimmt.

Likelihood-Ratio-Tests: Die Teststatistik λ = -2 [l(θ0) - l(θ_hat)] hat unter H0 eine chi-quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden entsprechend der Anzahl eingeschränkter Parameter. Zusätzlich werden Wald- und andere testsbasierte Ansätze genutzt, um Hypothesen abzuleiten.

Modellwahl: Informationskriterien wie AIC und BIC basieren auf der Log-Likelihood und bestrafen die Modellkomplexität: AIC = 2k - 2 l_hat, BIC = k log n - 2 l_hat. Diese Kriterien unterstützen Entscheidungen zwischen konkurrierenden Modellen, insbesondere wenn es um Balance zwischen Passgenauigkeit und Einfachheit geht.

Anwendungen: LogWLikelihoodbasierte Verfahren finden breite Anwendung in Statistik, Ökonometrie, Biostatistik, Phylogenetik und maschinellem Lernen, insbesondere für probabilistische Modelle, Regressions-, Misch- und Überlebensmodelle. Die Optimierung erfolgt typischerweise via Gradient- oder Newton-Verfahren, wobei der Hessian oder die Fisher-Information verwendet wird.

Einschränkungen: Modellmisspecification, Abhängigkeit von Regularitätsbedingungen, kleine Stichproben, multimodale Likelihood-Funktionen und hohe Parametervielfalt können zu fehlerhaften Inferenzresultaten führen; in solchen Fällen ergänzende Ansätze wie Bayes-Verfahren oder robuste Methoden werden eingesetzt.