LinearalgebraVerfahren

LinearalgebraVerfahren bezeichnet Verfahren und Algorithmen zur Lösung und Analyse von Problemen der Linearen Algebra. Typische Fragestellungen umfassen das Lösen von Gleichungssystemen, die Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren sowie die Zerlegung von Matrizen in faktorisierte Formen wie LU-, QR- oder Cholesky-Zerlegungen. Die Verfahren unterscheiden sich in symbolischer Behandlung (exakte, oft theoretische Ergebnisse) und numerischer Behandlung (Ergebnisse unter Berücksichtigung von Rundungsfehlern).

Für lineare Gleichungssysteme dominieren die Gaußsche Eliminationsmethode und deren faktorisierende Äquivalente wie LU- oder Cholesky-Zerlegung; bei großen, spärlichen Systemen kommen iterative Verfahren wie Jacobi, Gauss-Seidel oder konjugierte Gradientverfahren zum Einsatz. Bei besonders großen Problemen werden oft Krylov-Unterräume-Verfahren wie GMRES oder MINRES verwendet. Die Wahl des Verfahrens hängt von der Struktur der Matrix (dicht oder spärlich, symmetrisch, positiv definit) sowie von Anforderungen an Genauigkeit und Rechengeschwindigkeit ab.

Im Bereich der Eigenwertprobleme und der Matrixzerlegung spielen Verfahren wie das Power-Verfahren, der QR-Algorithmus und die Singulärwertzerlegung SVD zentrale Rollen. Die SVD liefert robuste Informationen zu Rang, Kondition und Dimensionsreduktion; sie findet Anwendung in Datenanalyse, Simulation, Computergraphik, Signal- und Bildverarbeitung sowie Maschinenlernen. Relevante theoretische Konzepte umfassen Stabilität, Kondition und die Auswirkungen der Fließkommaarithmetik auf Genauigkeit.