Liealgebren

Eine Lie-Algebroide, im Deutschen oft Lie-Algebroid genannt, über einer glatten Mannigfaltigkeit M besteht aus einem Vektorbundle A → M, einem Lie-Bracket [ , ] auf den Abschnitten Γ(A) und einem Vektorbundel-Morphismus ρ: A → TM, dem Anker. Die Struktur erfüllt das Leibnizsche Gesetz [α, fβ] = f[α,β] + (ρ(α)f)β für alle α,β ∈ Γ(A) und Funktionen f ∈ C∞(M). Die Struktur macht Γ(A) zu einer Lie-Algebra über R und gleichzeitig zu einem C∞(M)-Modul mit der Kompatibilitätsbedingung durch den Anker.

Der Anker ρ induziert eine Abbildung ρ: Γ(A) → Γ(TM), die ein Lie-Algebroid-Morphismus ist: ρ([α,β]) = [ρ(α), ρ(β)]. So verknüpfen Lie-Algebroide die Lie-Theorie der Abschnitte mit der Geometrie der Basis M und den Vektorfeldern darauf.

Beispiele: Das Tangentialbündel TM mit ρ = Id und dem Gewöhnlichen Lie-Bracket der Vektorfelder ist die einfachste Lie-Algebroide. Jedes Lie-Algebra g kann als Lie-Algebroide über einem Punkt M = {pt} angesehen werden (Anker = 0). Ein Aktions-Lie-Algebroid A = M × g entsteht aus einer Lie-Algebra-Aktion g × M → TM. Eine integrable Verteilung D ⊂ TM ergibt eine Lie-Algebroide A = D. Weitere Beispiele umfassen den Atiyah-Algebroiden von Principal-G-Bundles und holomorphe Lie-Algebroide in der komplexen Geometrie.

Integration: Man spricht von der Integration einer Lie-Algebroide, wenn es eine Lie-Gruppeoid G ⇒ M gibt, deren zugehöriges A(G) isomorph zur gegebenen Lie-Algebroide ist. Nicht alle Lie-Algebroide sind integrierbar; Crainic-Fernandes liefern Kriterien und Obstruktionen dafür.

Verwendung: Lie-Algebroide spielen eine zentrale Rolle in der Poisson-Geometrie, bei Foliationen, in der Deformationstheorie und als Rahmen für Symmetrie-Strukturen in Geometrie und Physik.