L2convergentie

L2convergentie, in het Nederlands ook wel convergentie in L2 genoemd, is een wijze van convergentie voor functies in een meetruimte. Voor een meetruimte (X, Σ, μ) bestaat de L2-ruimte uit alle meetbare functies f met ∫X |f(x)|^2 dμ(x) < ∞. Een rij f_n in L2 convergeert naar f in L2 als de L2-norm van het verschil afneemt naar nul, oftewel ∥f_n − f∥2 → 0, waarbij ∥g∥2 = (∫X |g(x)|^2 dμ(x))1/2.

Eigenschappen: L2 is een Hilbertruimte met de inproduct ⟨f, g⟩ = ∫X f(x)g(x)̄ dμ(x) en norm ∥f∥2 = √⟨f,f⟩. De ruimte is compleet, zodat elke Cauchy-rij in L2 convergeert tot een limit in L2. Als μ(X) finite is, impliceert L2-convergentie convergentie in maatgeving (schaal via Chebyshev) – de normconversie strengere vorm van convergentie dan convergentie in maat.

Voorbeelden en toepassingen: In de tijds- en frequentiedomeinen levert de Fourier-reeks voor een functie f ∈ L2([−π, π]) convergentie op in L2 op: de partial sums s_N convergeeren naar f in de L2-norm. In numerieke methoden, zoals de eindige-elementenmethode, levert L2-convergentie van de benadering een maat voor de fout in de L2-norm bij steeds fijnere mesh.

Belangrijke nuance: L2-convergentie impliceert niet noodzakelijk puntwise of uniforme convergentie. Verwar L2-convergentie dus niet met andere vormen van convergentie. Verwante concepten zijn Lp-convergentie en zwakke convergentie in L2.

---