Lpconvergentie

Lp-convergentie is een methode om te beschrijven hoe een rij van random variabelen X1, X2, ... convergeert naar een variabele X in de ruimte Lp. Voor een probability space (Ω, F, P) en een p ≥ 1 is de Lp-norm van een variabele X gedefinieerd als ||X||p = (E|X|^p)^(1/p), en Lp(Ω, F, P) bestaat uit alle variabelen met finite p-de momenten. De rij Xn convergeert in Lp naar X als E[|Xn − X|^p] → 0, oftewel ||Xn − X||p → 0.

Belangrijke eigenschappen: als Xn convergeert in Lp naar X, dan volgt daarmee convergentie in waarschijnlijkheid, omdat P(|Xn − X| > ε) ≤ E|Xn − X|^p / ε^p. Bovendien volgt uit de regel van driehoek en de continuïteit van de norm dat ||Xn||p → ||X||p; dus zowel de variabelen als hun p-de normen convergeren.

Voorwaarde en samenhang met andere convergenties: Lp-convergentie is sterker dan convergentie in waarschijnlijkheid, maar impliceert meestal geen almost sure convergentie zonder aanvullende voorwaarden. Wel geldt: als ∑ E|Xn − X|^p < ∞, dan volgt Xn → X almost surely via de Borel–Cantelli-samenstelling.

p = ∞ geeft L∞-convergentie, wat betekent dat ess sup |Xn − X| → 0, oftewel de variabelen convergeren in de essentiële bovengrens.

Toenadering en voorbeelden: als Xn = X + Yn met E|Yn|^p → 0, dan Xn → X in Lp. Lp-ruimten zijn compleet, waardoor Cauchy-verzamelingen in Lp convergent zijn in Lp-norm.

---