L1Distanz

L1Distanz, auch Manhattan-Distanz oder taxicab-Distanz genannt, bezeichnet den Abstand zweier Punkte in einem Vektorraum gemäß der L1-Norm. Für zwei Vektoren x und y in R^n gilt d1(x, y) = sum_i |x_i - y_i|. Im Gegensatz zur L2-Distanz (Euklidische Distanz) berücksichtigt die L1-Distanz die Abstandsänderungen entlang jeder Koordinate separat.

Die L1-Distanz ist eine Metrik auf dem euklidischen Raum und erfüllt die Eigenschaften der Nichtnegativität, Identität von Ununterscheidbaren, Symmetrie und Dreiecksungleichung. Sie reagiert empfindlich auf Anpassungen in einzelnen Koordinaten und führt zu Pfaden, die eher axis-parallel erfolgen. In höheren Dimensionen ist sie daher oft weniger “glatt” als die L2-Distanz.

Die Berechnung ist einfach: Man berechnet für jedes Koordinatenpaar den absoluten Unterschied und summiert diese Werte. Die Komplexität liegt linear zur Anzahl der Koordinaten. In großen Datensätzen lassen sich L1-Distanzen oft effizient durch Vektorisierung oder spezialisierte Datenstrukturen berechnen.

Verwandte Konzepte umfassen die L1-Norm (die Summe der Absolutbeträge der Koordinaten) sowie den Begriff der Manhattan-Geometrie, benannt nach der gitterartigen Stadtsilhouette von Manhattan. L1 wird häufig in Optimierungsproblemen verwendet, insbesondere dort, wo Sparsamkeit (Open-Loop-Minimierung von Absolutwerten) eine Rolle spielt, z. B. bei LAD-Regression (Least Absolute Deviations) oder bei k-Median-Clustering statt k-Means.

Anwendungsbereiche finden sich in Bereichen wie Mustererkennung, Messdatenvergleich, Bild- und Histogrammverarbeitung sowie Pfadplanung in Gitternetzwerken.