Kurvengleichung

Kurvengleichung bezeichnet in der Geometrie die Gleichung, deren Lösungsmenge Punkte im Koordinatenebenen bildet und damit eine Kurve beschreibt. Sie wird in verschiedenen Darstellungsformen verwendet: explizit als y = f(x) oder x = g(y) – wobei eine Koordinate direkt als Funktion der anderen angegeben wird; implizit als F(x, y) = 0 – die Beziehung ist nicht notwendigerweise als Funktion darstellbar; und parametrisch als x = x(t), y = y(t) – die Kurve wird durch einen oder mehrere Parameter beschrieben.

In der Praxis finden sich viele Standardformen. Eine allgemeine implizite Beschreibung einer Konik ist die Gleichung Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0, wobei Grad und Koeffizienten bestimmte Kurvenformen wie Kreis, Ellipse, Parabel oder Hyperbel ergeben. Explizite Beispiele sind der Kreis x^2 + y^2 = r^2 oder die Parabel y = ax^2 + bx + c. Parametrische Darstellungen umfassen etwa eine Ellipse x = a cos t, y = b sin t.

Zusammenhang und Bedeutung: Kurvengleichungen definieren Kurven als Nullmengengen von Polynomen oder als Funktionsbeziehungen. Die Einordnung in Grad und Typ (z. B. lineare Kurve, Konik, allgemeine algebraische Kurve) hilft bei der Analyse ihrer Eigenschaften wie Krümmung, Symmetrie und Schnittverhalten. In der analytischen Geometrie dienen Kurvengleichungen zur Beschreibung geometrischer Objekte, in der Grafik und CAD zur Konstruktion von Formen sowie in der Physik und Technik zur Modellierung von Bahnen und Loci.