Kurvenbereich

Kurvenbereich bezeichnet in der Geometrie den Bildbereich einer Kurve, also die Menge aller Punkte, die von der Kurve durchlaufen werden. Oft wird der Begriff synonym zu Bahnkurve oder Locus verwendet. Er unterscheidet sich von Definitionsbereich und Wertebereich eines zugehörigen Funktionsverständnisses und von der parametrischen Beschreibung durch eine Funktion gamma.

Formale Definition: Gegeben eine parametrische Kurve gamma: I -> R^2, t |-> (x(t), y(t)) mit Intervall I. Der Kurvenbereich K ist die Bildmenge K = { gamma(t) : t in I }. Das heißt K ist eine Teilmenge der Ebene, die den Verlauf der Kurve darstellt. Bei einer expliziten Gleichung F(x,y)=0 wird der Kurvenbereich als Locus der Punkte mit F(x,y)=0 verstanden, die zugleich den gegebenen Zustand erfüllen.

Eigenschaften: K hängt von I und gamma ab; Ist gamma stetig, ist K oft zusammenhängend, insbesondere wenn I verbunden ist. Ist I kompakt und gamma stetig, ist K kompakt. Falls gamma nicht injektiv ist, kann der Parameter mehrere Male denselben Punkt treffen; der Kurvenbereich bleibt dennoch derselbe Bild. Der Kurvenbereich ist unabhängig von der gewählten Parametrisierung.

Beispiele: Die parametrische Kreisbahn gamma(t)=(cos t, sin t) für t in [0, 2π] hat als Kurvenbereich den Einheitskreis. Die Parabel gamma(t)=(t, t^2) für t in R hat als Kurvenbereich die Menge {(t, t^2) | t in R}.

Verwandte Begriffe: Bahnkurve, Locus, Trajektorie; in der Informatik und Grafik wird oft von Pfad oder Kontur gesprochen.