Kurtosewert

Der Kurtosewert, auch Kurtosis genannt, ist ein statistisches Maß, das die Form einer Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt, insbesondere die Gewichtung der Randbereiche der Verteilung und die Schärfe des Peaks um den Mittelwert. Er dient dazu, die Abweichung einer Verteilung von einer Normalverteilung hinsichtlich der Ausprägung von Extremen zu quantifizieren.

Mathematisch lässt sich die Kurtosis wie folgt definieren: Für eine Zufallsvariable X mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ gilt die Kurtosis K = E[(X−μ)^4] / σ^4. Bei einer Stichprobe x1, …, xn mit Mittelwert x̄ und Stichprobenstandardabweichung s wird häufig die Schätzung K = (1/n) Σ (xi−x̄)^4 / s^4 verwendet. Die Exzess-Kurtose wird definiert als K_ex = K − 3; eine Normalverteilung besitzt eine Exzess-Kurtose von 0.

Interpretation: Eine Verteilung mit K > 3 wird als leptokurtisch bezeichnet und weist einen spitzen Peak sowie schwerere Ränder auf. Eine Verteilung mit K ≈ 3 gilt als mesokurtisch und ähnelt der Normalverteilung. Eine Verteilung mit K < 3 wird als platykurtisch beschrieben, mit flacherem Peak und leichteren Rändern.

Hinweise: Kurtose ist empfindlich gegenüber Ausreißern und hängt stark von der Stichprobengröße ab; unterschiedliche Schätzer können zu leicht abweichenden Werten führen.

Anwendungen: In der Statistik wird Kurtose verwendet, um Abweichungen von der Normalverteilung zu bewerten, etwa in Normalitätstests oder in der Finanzmathematik zur Quantifizierung von Extremereignisrisiken.

See also: Kurtosis, Skewness, Moment.