Klassenpaaren

Klassenpaaren bezeichnet ein geordnetes Paar zweier Klassen, also A und B, wobei beide Komponenten Klassen von Objekten sind. Solche Paare dienen in formalen Kontexten dazu, Relationen oder Zuordnungen zwischen Klassen zu beschreiben und zu untersuchen.

In der formalen Logik und Mengenlehre wird ein Klassenpaar oft über eine Klasse von geordneten Paaren definiert. Eine gängige Interpretation ist eine Relation R, die Teilmengen von A×B ist, also R ⊆ A×B. Jedes Paare (a,b) in R zeigt an, dass das Element a aus der ersten Klasse mit dem Element b aus der zweiten Klasse in einer bestimmten Beziehung steht. In Theorien, die Klassen als Objekte zulassen (etwa NBG oder MK), können Klassen selbst als Bausteine verwendet werden; das kartesische Produkt A×B ist dann eine Klasse, nicht unbedingt eine Menge, und Unterklassen definieren wiederum Klassen von Paaren.

Anwendungen umfassen die Modellierung von Abbildungen zwischen Klassen, Funktionen als Klassen von geordneten Paaren (jeweils erstes Element aus der Definitionsklasse, zweites Element aus dem Wertebereich), sowie allgemein Relationen zwischen Klassen. Klassenpaare ermöglichen so eine abstrahierte Beschreibung von Zuordnungen, Relationen und Strukturen, die sich nicht allein auf Mengen begrenzen lassen.

Beispiele: Wenn A die Klasse der natürlichen Zahlen und B die Klasse der geraden Zahlen ist, kann eine Relation R ⊆ A×B definieren, die z. B. alle Paare (n,2n) enthält. Ein Klassenpaar kann auch als Grundlage für Konstruktionen wie Funktionsräume oder Bildbereiche zwischen Klassen dienen.

Siehe auch: Klassen, Mengenlehre, Relationen, Funktionen, NBG, MK.