Kernmetriken

Kernmetriken bezeichnet in der Mathematik und Statistik Distanz- oder Ähnlichkeitsmaße, die aus Kernel-Funktionen ableitbar sind und in Kernel-Methoden zur Abbildung von Objekten in einem Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS) verwendet werden. Über die Existenz eines Merkmalsabbildungs phi: X → H mit k(x,y) = ⟨phi(x), phi(y)⟩ ergibt sich eine Kernel-Distanz d_k(x,y) = ||phi(x) − phi(y)||_H. Für positive semidefinite Kernel k ist d_k eine Metrik.

Typische Beispiele sind der Gaussian- oder RBF-Kernel k(x,y) = exp(−||x−y||^2 / (2σ^2)), der polynomialle Kernel k(x,y) = (x·y + c)^d und der lineare Kernel k(x,y) = x·y. Kernelmaße wie der Maximum Mean Discrepancy (MMD) verwenden Kernelfunktionen, um Distanzen zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu definieren.

Anwendungen umfassen Clustering, Klassifikation, Anomalieerkennung und Zwei-Stichproben-Tests; Kernelmethoden kommen auch in Graph- und Strukturmessungen zum Einsatz.

Berechnung: Man arbeitet mit der Kernelmatrix K, deren Einträge k(x_i, x_j) sind; Komplexität O(n^2) Speicher- und Rechenzeit. Parameterwahl, insbesondere die Kernel-Bandbreite bei RBF, hat großen Einfluss. Zur Skalierung nutzt man Approximationsverfahren wie Nyström-Ansatz oder Random-Fourier-Features.

Hinweise: Nicht jeder Kernel definiert eine Distanz; d_k ist eine echte Metrik, wenn k PSD ist. Die Interpretation von Kernmetriken unterscheidet sich von herkömmlichen Abständen. Historisch hängen Kernelmetriken mit dem RKHS-Konzept zusammen, das sich aus dem Mercer-Theorem ableitet und in vielen Bereichen der Statistik und des Maschinellen Lernens verbreitet ist.