Körpererweiterungsfeldes

Ein Körpererweiterungsfeld, oft einfach Erweiterungsfeld genannt, ist in der Mathematik ein Paar von Feldern F ⊆ E, wobei F Unterkörper von E ist. Die Erweiterung wird mit E/F notiert und bedeutet, dass F als Teilfeld von E vorhanden ist und die Feldoperationen von F mit denen in E übereinstimmen. Der Grad [E:F] misst die Größe der Erweiterung und ist die Dimension von E als Vektorraum über F.

Eine Erweiterung heißt algebraisch, wenn jedes Element von E Wurzel eines Polynoms mit Koeffizienten in F ist; andernfalls ist sie transzendent. Eine Erweiterung ist endlich, wenn [E:F] endlich ist; andernfalls unendlich. Sind E/F zusätzlich normal und separabel, spricht man von einer Galois-Erweiterung; die Automorphismengruppe Aut(E/F) hat dann die Ordnung [E:F]. Der Primitivelementensatz gilt: Ist E/F endlich und separabel, existiert ein Element α in E mit E = F(α). Der Turmsatz gilt: Wenn F ⊆ K ⊆ E, dann [E:F] = [E:K][K:F].

Beispiele: Q ⊆ Q(√2) ist eine endliche algebraische Erweiterung. Q ⊆ Q(t) ist transzendente. R ⊆ C ist eine endliche, Galois-Erweiterung (Grad 2; Aut(C/R) besteht aus der Identität und der konjugation).

Anwendungen finden sich in der Zahlentheorie, Algebra und Galois-Theorie, insbesondere bei der Beschreibung von Wurzelstrukturen, Polynomzerlegungen und Automorphismen.