Primitivelementensatz

Der Primitivelementensatz, auch als Satz über primitive Elemente bekannt, ist ein zentraler Satz der Feldtheorie. Er besagt, dass jede endliche separierbare Erweiterung einfach ist: Es gibt ein Element α in E mit E = K(α).

Formale Fassung: Sei E/K eine endliche separierbare Erweiterung von Feldern. Dann existiert ein α ∈ E mit E = K(α). Insbesondere, wenn E = K(α, β) ist, gibt es oft ein c ∈ K, sodass E = K(α + cβ); genauer gilt, dass für alle außer wenigen Ausnahmen c in K gilt, dass K(α + cβ) = E.

Hinweise: Die Separabilität ist wesentlich; im karakteristischen p-Feld können endliche inseparable Erweiterungen auftreten, die nicht notwendigerweise einfach sind. In Charakteristik 0 oder bei perfekten Grundkörpern gilt der Satz ebenfalls, wobei alle endlichen Erweiterungen separabel sind.

Beispiele: Q(√2, √3) = Q(√2 + √3) zeigt, dass eine zweifache Erweiterung durch ein einziges Element erzeugt wird.

Auswirkungen: Der Satz vereinfacht die Struktur endlicher Erweiterungen, insbesondere in der Zahl- und Funktionentheorie; jedes endliche Zahlenkörper-Erweiterung von Q ist durch ein einzelnes Element erzeugbar. Er erleichtert auch die Analyse von Galois- und Strukturfragen, indem man Erweiterungen auf Adjunktion eines einzigen Elements reduziert.

Skizze des Beweises: Man nimmt Erzeuger α, β ∈ E. Die Idee ist, dass α + cβ für die meisten Werte von c in K ein Generierer von E ist. Die schlechten Werte von c bilden eine endliche Menge, die man vermeiden kann; damit erhält man für geeignete Wahl von c das Verhältnis E = K(α + cβ).