Intervallwahrscheinlichkeiten

Intervallwahrscheinlichkeit bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable X einen Wert in einem bestimmten Intervall annimmt. Typisch wird P(a ≤ X ≤ b) angegeben, wobei a und b reelle Zahlen sind und das Intervall [a,b] umfasst. In der Praxis wird auch P(a < X ≤ b) oder P(a ≤ X < b) verwendet; der Unterschied ist vor allem bei Verteilungen mit positiven Wahrscheinlichkeiten einzelner Werte relevant.

Für stetige Zufallsvariablen mit Dichte f gilt: P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Die Wahrscheinlichkeit, genau einen bestimmten Wert X = x zu erhalten, ist bei stetigen Verteilungen null, sodass die Unterscheidung von geöffneten oder geschlossenen Intervallen im Allgemeinen keine Rolle spielt. Die Verteilungsfunktion F(x) = P(X ≤ x) ermöglicht P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a−), wobei F(a−) den Grenzwert von links beschreibt.

Für diskrete Verteilungen berechnet sich P(a ≤ X ≤ b) als Summe der Wahrscheinlichkeiten der Werte x im Intervall: P(a ≤ X ≤ b) = Σ P(X = x) für alle x mit a ≤ x ≤ b.

Wichtige Eigenschaften: P(a ≤ X ≤ b) ≥ 0, und P(−∞ < X ≤ ∞) = 1. Die Funktion wächst monoton mit der Breite des betrachteten Intervalls.

Beispiele: Bei der Standardnormalverteilung Z beträgt P(-1 ≤ Z ≤ 1) etwa 0,6827. Die Intervallwahrscheinlichkeit ist zentral für die Interpretation von Konfidenzintervallen, Hypothesentests und allgemeinen Unsicherheitsabschätzungen.