Intervallrechnung

Intervallrechnung ist ein Teilgebiet der Numerik, das mit Mengen von Zahlen arbeitet, die durch Intervallnotation beschrieben werden. Ein Intervall I=[a,b] enthält alle Werte x mit a ≤ x ≤ b. Ziel ist es, Berechnungen durchzuführen, die sichere Grenzen für das Ergebnis liefern, selbst wenn Eingaben Unsicherheiten oder Rundungsfehler aufweisen.

Die Grundoperationen für Intervalle I=[a,b] und J=[c,d] sind: Addition I+J=[a+c, b+d]; Subtraktion I−J=[a−d, b−c]; Multiplikation I·J=[min(ac, ad, bc, bd), max(ac, ad, bc, bd)]; Division I/J ist definiert, wenn 0 nicht in J; dann I/J=[min(a/c, a/d, b/c, b/d), max(a/c, a/d, b/c, b/d)]. Enthält J 0, ist Division nicht definiert oder führt zu unbestimmten bzw. unbeschränkten Intervallen; in der Praxis wird dies vermieden oder durch Erweiterungen behandelt.

Eine wesentliche Eigenschaft ist die Einschluss-Eigenschaft: Für jedes x ∈ I und y ∈ J gilt f(x,y) ∈ K, wobei K das berechnete Intervall ist. Das bedeutet, das reale Ergebnis liegt sicher innerhalb des Ausgangs-Intervalls.

Probleme: Das Ergebnis kann aufgrund von Abhängigkeiten zwischen Variablen oft übermäßig groß werden, ein Phänomen, das als Abhängigkeitsproblem bekannt ist. Beispiel: x ∈ [−1,1], y ∈ [−1,1], x−y ∈ [−2,2] statt [−0,0] bei echter Abhängigkeit. Lösungsansätze umfassen erweiterte Techniken wie affine Intervallrechnung, Kontraktoren oder verfeinerte Modelle.

Anwendungen: Validierte Numerik, Fehlerabschätzung, Stabilitäts- und Konvergenzuntersuchungen, globale Optimierung sowie Robustheitsnachweise.

Historischer Hinweis: Die Intervallrechnung wurde in den 1960er Jahren von Moore eingeführt und dient seither der zuverlässigen Berechnung mit Unsicherheiten und Rundungsfehlern.