Intensiteitsfunctie

Intensiteitsfunctie, in de context van puntprocessen, is een niet-negatieve functie die de verwachte aantallen gebeurtenissen per tijdseenheid (of per ruimteeenheid) aangeeft. In temporele modellen beschrijft λ(t) de gemiddelde snelheid van gebeurtenissen op tijdstip t. In ruimtelijke modellen kan λ(x) een functie zijn die de verwachte dichtheid van gebeurtenissen op elke locatie x weergeeft. Een homogene Poisson-proces heeft een constante intensiteit, terwijl een inhomogene (of niet-hoekige) process variability in λ(t) of λ(x) vertoont.

Bij een temporeel niet-homogeen Poisson-proces N(t) geldt: de verwachte toename in een interval [a,b] is E[N(b) − N(a)] = ∫ₐᵇ λ(t) dt. De counts in disjuncte intervallen zijn onafhankelijk en in elk interval is N(b) − N(a) Poisson verdeeld met bovenstaande mean. Voor ruimtelijke processen geldt analog Aan de bekend: E[N(B)] = ∫_B λ(x) dx voor een regio B.

De concepten van intensiteitsfunctie en conditionele intensiteit zijn nauw verwant. De conditionele intensiteit λ*(t|H_t) = lim_{Δ→0} P(N(t+Δ) − N(t) = 1 | H_t)/Δ beschrijft de kans van een gebeurtenis op korte termijn gegeven de geschiedenis H_t. Voor een Poisson-proces is λ*(t|H_t) gelijk aan λ(t), maar in meer algemene puntprocessen kan λ*(t|H_t) afhankelijk zijn van het verleden.

Schatting en toepassing: λ(t) of λ(x) kan parametisch worden gemodelleerd of met niet-parametrische methoden worden geschat (bijv. kernel-smoothing). De likelihood voor een dataset met tijdstippen t_i is bijvoorbeeld ∏ λ(t_i) × exp(−∫ λ(t) dt). Toepassingen zijn onder meer seismologie, epidemiologie, criminologie en reliability engineering.