Integrationsformen

Integrationsformen, or forms of integration, bezeichnet in der Mathematik verschiedene Definitionen und Konzepte, mit denen Funktionen über einem Intervall oder in einem Maßraum summiert werden. Ziel ist es, den Gesamtwert einer Funktion zu bestimmen und damit Analysen über Funktionsverhalten, Konvergenz und Größenordnungen zu ermöglichen.

Die klassische Riemann-Integration dient als grundlegender Ansatz: Man teilt das Intervall in Teilintervalle, bildet obere und untere Summen und bestimmt das Integral, wenn deren Differenz gegen Null strebt. Sie ist einfach aufgebaut, hat jedoch Einschränkungen bei vielen Unstetigkeiten oder stark oszillierenden Funktionen.

Die Riemann–Stieltjes-Integration generalisiert das Konzept, indem man das Integrationsmaß durch eine stetig wachsende Funktion α ersetzt. Dies erlaubt gewichtete Summationen und Anwendungen, bei denen die Größenordnung durch α beeinflusst wird.

Die Lebesgue-Integration basiert auf Maßtheorie und ordnet dem Funktionswert der Größe der Levelmengen zu. Sie ermöglicht stärkere Konvergenzresultate (z. B. das Dominierte Konvergenztheorem) und erfasst eine breitere Klasse von Funktionen als die Riemann-Variante.

Fortgeschrittene Allgemeinheiten umfassen das Denjoy–Perron- bzw. Denjoy-Integral, das noch größere Funktionenspektren integrierbar macht, sowie das Henstock–Kurzweil-Integral (Gauge-Integral), das oft als verallgemeinerte Riemann-Integration gilt und alle Ableitungen integrieren kann, ohne Maßtheorie zu benötigen. Für vektorwertige Funktionen gibt es das Bochner- und das Pettis-Integral.

Die Wahl der Integrationsform hängt von Funktion, Raum und gewünschten Theoremen ab. In der Praxis dominiert meist das Lebesgue- oder Riemann-Integral, während fortgeschrittene Integrale in der Analysis-Forschung eingesetzt werden.