Innengeometrien

Innengeometrien bezeichnet in der Mathematik die Geometrie der inneren Strukturen eines Raums oder Objekts, also die Geometrie, die durch innere Abstände, Winkel und Kurven definiert ist, unabhängig davon, wie das Objekt in einem größeren Umfeld platziert ist. In der Praxis geht es um intrinsische Eigenschaften, die durch Messungen innerhalb des Objekts bestimmt werden, im Gegensatz zu extrinsischen Eigenschaften, die vom Embedding abhängen.

Zentrale Begriffe sind Metrik, geodätische Abstandsfunktion, Geodeten und Krümmung. Bei Oberflächen liefert die Erste Fundamentale Form die innere Messgröße der Oberflächengeometrie; die Gaussche Krümmung ist eine intrinsische Größe, wie Gauss im Theorema Egregium zeigte. In der Allgemeinen Geometrie, insbesondere der Riemannschen Geometrie, wird die Innengeometrie einer Mannigfaltigkeit durch eine Metrik definiert, die Entfernungen und Winkelformen innerhalb des Raums festlegt.

Beispiele und Modelle umfassen die Geometrie von Kurven und Flächen in der Ebene oder auf geschlossenen Oberflächen, Polyederoberflächen mit Innendistanzen sowie allgemeine metrische Räume. Methoden der Innengeometrie kommen aus der Differentialgeometrie, der topologischen Geometrie und der metrischen Geometrie, einschließlich der Untersuchung von Geodäten, Krümmung, Vergleichssätzen und Konvergenzbeziehungen.

Anwendungen finden sich in der Robotik, Computer Vision, Computergrafik, Design und der mathematischen Grundlagenforschung. Die Innengeometrie ergänzt damit die äußere Perspektive, die sich mit Embeddings und externen Relationen befasst.