Oberflächengeometrie

Oberflächengeometrie ist ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, das sich mit den Eigenschaften von zweidimensionalen Flächen befasst, die in einem dreidimensionalen Raum oder höheren Räumen eingebettet sind. Zentrale Fragestellungen betreffen die Beschreibung von Flächen durch Parametrisierungen, die Krümmung von Flächen, Geodäten sowie Flächeninhalte und -formen.

Zur formalen Beschreibung verwendet man die ersten und zweiten Fundamentalmatrizen, die aus Tangentialvektoren, Normalenvektor und Ableitungen der Parametrisierung abgeleitet werden. Die erste Fundamentalmatrix enthält die metrische Struktur der Fläche, die zweite erfasst deren Krümmung. Aus ihr ergeben sich Größen wie die Gaußsche Krümmung K, die mittlere Krümmung H und weitere Krümmungskennwerte. Intrinsische Eigenschaften der Fläche bleiben beim Verbiegen unverändert, während extrinsische Merkmale die Einbettung in den Raum betreffen. Wichtige Beziehungen ergeben sich aus den Gauss- und Codazzi-Gleichungen; eine globale Verbindung wird durch das Gauss-Bonnet-Theorem hergestellt, das die Krümmung mit der Topologie der Fläche verknüpft.

Geometrische Konzepte umfassen Geodäten, das sind die kürzesten oder krümmungsarmen Wege auf der Fläche, sowie Flächeninhalte und -formen. Minimal- oder Flächen mit der mittleren Krümmung H = 0 erfüllen eine besondere Gleichung und treten in vielen Kontexten auf.

Typische Beispiele sind die Ebene, die Kugel, der Zylinder und der Torus. Anwendungen finden sich in der Computergrafik, der Architektur, der Materialwissenschaft, der Biologie sowie in der theoretischen Physik, wo Oberflächengeometrie grundlegende Rollen spielt.