Indikatorgrößen

Indikatorgrößen, auch Indikatorfunktionen genannt, sind Funktionen, die einer Ereignismenge ein Binärwert 0 oder 1 zuordnen. Sei A eine Teilmenge eines Ergebniskosmos Ω mit Wahrscheinlichkeitsmaß P. Die Indikatorgröße I_A(ω) ist definiert durch I_A(ω) = 1, falls ω ∈ A, und I_A(ω) = 0, falls ω ∉ A. In der Wahrscheinlichkeitstheorie heißen Indikatorgrößen oft Indikatorvariablen; ihr Erwartungswert ist E[I_A] = P(A), und ihre Varianz ist Var(I_A) = P(A)(1 − P(A)). Für zwei Ereignisse A und B gilt Cov(I_A, I_B) = P(A ∩ B) − P(A)P(B). Summiert man Indikatorgrößen, erhält man Zählgrößen: ∑_{i=1}^n I_{A_i} zählt, wie viele der A_i eintreten.

Indikatorfunktionen lassen sich verallgemeinern zu Indikatorfunktionen χ_A einer beliebigen messbaren Menge A in einem Maßraum. Sie sind zentrale Werkzeuge in Statistik, Datenanalyse und Stochastik, um Ereignisse numerisch darzustellen und mit linearen Operationen zu arbeiten. In der Praxis werden Indikatorgrößen als Dummy-Variablen in Modellen verwendet, etwa in Regressionsanalysen oder Klassifikationsaufgaben; sie ermöglichen die Berücksichtigung von Kategorien oder Merkmalen. In der Optimierung erscheinen Indikatoren als Boolesche Variablen bzw. Indikatorbedingungen, die logische Aussagen in lineare Programme einbetten.