Identiteitsspectrum

Identiteitsspectrum is een term uit de lineaire algebra en operatorleer die verwijst naar het spectrum van de identiteitstransformatie of identiteitsoperator. In deze context is het spectrum van een operator T de verzameling van alle scalaren λ waarvoor T − λI niet invertibel is, waarbij I de identiteitsoperator is.

Voor de identiteit operator I op een vectorruimte V over een veld (vaak de reële of complexe getallen) geldt dat I − λI = (1 − λ)I. Dit is invertibel tenzij λ = 1. Daarom is het identiteitsspectrum σ(I) altijd het singleton {1}. Het onderscheid tussen verschillende delen van het spectrum maakt duidelijk dat voor I ook het punten-spectrump (de eigenwaarden) uitsluitend 1 bevat: I v = λ v impliceert dat v ≠ 0 alleen mogelijk is als λ = 1, zodat σp(I) = {1}.

In een einddimensie­ruimte van dimensie n heeft I de karakteristieke veelterm (λ − 1)^n, wat betekent dat 1 als eigenwaarde met algebraïsche multipliciteit n optreedt; het minimale veelterm is λ − 1. In oneindig-dimensionale ruimtes blijft σ(I) = {1}: het resolver-vlak is het complexe vlak minus 1 en de inverse (I − λI)−1 bestaat voor alle λ ≠ 1, met (I − λI)−1 = (1/(1 − λ)) I. Het identiteitsoperator is normaal en vaak ook zelfadjoint, waardoor zijn spectrum zich op de exacte waarde 1 bevindt.

Het identiteitsspectrum dient als referentiepunt in de spectraaltheorie; veel andere operatoren hebben spectra die rondom of rondom deze waarde liggen na perturbaties.