Höchstgrößen

Höchstgrößen bezeichnen in der Mathematik die höchsten Werte, die eine gegebene Größe innerhalb eines bestimmten Definitionsbereichs annehmen kann. Bei einer reellen Funktion f auf einer Menge X spricht man von einem globalen Höchstwert, wenn es ein Argument x0 in X gibt, so dass f(x) ≤ f(x0) für alle x in X; der zugehörige Funktionswert f(x0) wird als globaler Höchstwert bezeichnet. Lokale Höchstwerte treten auf, wenn es zu einem Punkt x0 eine Umgebung gibt, in der f(x) ≤ f(x0) gilt, während global auch außerhalb dieser Umgebung das Maximum gelten kann.

Man unterscheidet außerdem zwischen strikten und nicht-strikten Höchstwerten: Ein strikter Höchstwert erfüllt f(x) < f(x0) für alle x ≠ x0 in einer Nachbarschaft von x0, während ein nicht strikter Höchstwert lediglich f(x) ≤ f(x0) in dieser Umgebung erfüllt.

Existenz und Nicht-Existenz: Nicht jeder Funktionswert wird tatsächlich erreicht. So besitzt die stetige Funktion f(x)=x auf dem offenen Intervall (0,1) keinen Höchstwert, obwohl ihr Supremum 1 ist, das jedoch nicht als Funktionswert angenommen wird. Dagegen hat f(x)=- (x-2)^2 auf ganz R einen globalen Höchstwert von 0 bei x=2. Allgemein gilt die Weierstraßsche Extremwertsatz: Eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge besitzt einen globalen Höchstwert und einen globalen Tiefstwert.

Anwendung und Zusammenhang: Höchstgrößen sind zentral in der Optimierung, Statistik und Analysis. Sie stehen im Zusammenhang mit Begriffen wie Maximum, Gefälle, Extremwerte sowie mit dem Konzept von Supremum und Infimum. In endlichen Mengen existieren Höchstgrößen immer; in unendlichen oder offenen Mengen nicht zwangsläufig.