Extremwerte

Extremwerte bezeichnet man in der Mathematik als die größten oder kleinsten Funktionswerte einer Funktion auf ihrem Definitionsbereich. Man unterscheidet absolute (globale) Extrema und lokale (partielle) Extrema. Ein absolutes Maximum ist der größte Funktionswert, ein absolutes Minimum der kleinste Funktionswert der Funktion. In abgeschlossenen Intervallen kann eine stetige Funktion sowohl ein absolutes Maximum als auch ein absolutes Minimum annehmen (Weierstraß-Theorem). Endpunkte eines Intervalls können Extrema tragen.

Kandidaten für Extrema ergeben sich oft an kritischen Stellen: Punkte x0, an denen die Ableitung f′(x0) = 0 ist oder an denen f′ undefiniert ist. Nicht jeder kritische Punkt ist ein Extremwert, daher braucht man weitere Kriterien.

Methoden zur Bestimmung: Erster Ableitungstest. Um x0 herum muss sich das Vorzeichen von f′ ändern, um ein Extremum zu signalisieren: von positiv zu negativ ≈ Maximum, von negativ zu positiv ≈ Minimum. Zweiter Ableitungstest. Falls f′(x0) = 0 existiert und f′′(x0) existiert, gilt: f′′(x0) > 0 → lokales Minimum, f′′(x0) < 0 → lokales Maximum; f′′(x0) = 0 ist inconclusive. Monotonieverhalten (steigende oder fallende Funktion) liefert ebenfalls Hinweise auf Extremwerte.

Beispiele: f(x) = x^2 hat ein lokales und absolutes Minimum bei x = 0. f(x) = −x^2 hat ein lokales und absolutes Maximum bei x = 0. Auf dem gesamten R gilt bei −x^2 kein Minimum, aber es besitzt ein Maximum.