Heavisidefunksjonen

Heavisidefunksjonen, også kjent som skrittfunksjonen, betegnes ofte som H(x). Den er definert slik at H(x) = 0 for x < 0 og H(x) = 1 for x > 0. Ved x = 0 varierer konvensjonen: noen bruker H(0) = 1/2, andre lar verdien være udefinert eller velger en av de andre verdiene. En vanlig uttrykksform er H(x) = (1 + sgn(x))/2 for x ≠ 0.

funksjonen beskriver et på/av-signal og er dermed ikke-stigende og stykkevis konstant. Den anvendes ofte til å modellere tidsavgrensede eller tidsdiskrete overgangseffekter, som å slå på et system ved en spesifikk tid.

Egenskaper og teoretiske aspekt: Den eneste dens avledede i vanlig funksjonsteori er ikke definert i klassisk forstand, men i fordeltingskapitel er avledningen av H gitt ved Dirac-deltaet δ(x), dvs. dH/dx = δ(x) i distributions-sens. H er rett-kontinuerlig hvis man velger H(0) = 1/2 (eller i andre konvensjoner), og den er monotont stigende.

Transformasjoner og representasjoner: Laplace-transformen av H(t − a) er e^{−as}/s for s > 0. Fourier-transformen av H(t) eksisterer i distribuert forstand og kan uttrykkes som πδ(ω) + PV(1/(jω)). Representasjoner som H(x) = lim_{ε→0+} 1_{x>−ε} brukes ofte i praksis for å håndtere grenseverdier.

Anvendelser: I kontrollteori, signalbehandling og løsninger av differensialligninger brukes Heavisidefunksjonen til å beskrive skift, betingede utganger og oppsplitting av signaler i enkeltsliggende tidssegmenter. Den fungerer som en enkel modell for å implementere stegvise modifikasjoner i matematiske modeller.