Transformasjoner

Transformasjoner er i matematikk en avbildning fra et sett til et annet, ofte fra et rom til seg selv, som beskriver hvordan et objekt eller en verdi endres i henhold til visse regler. En geometrisk transformasjon flytter eller endrer posisjon, form eller størrelse på punkter i et rom. Transformasjoner kan være lineære, eller ikke-lineære, avhengig av hvilke regler som gjelder for kombinasjon av punkter og skalarer. I praksis brukes transformasjoner til å beskrive bevegelse, endring av koordinater og bildebehandling.

I geometrien møter man flere vanlig forekommende typer. Translason flytter alle punkter et bestemt avstand i en gitt retning. Rotasjon dreier alle punkter rundt et fast punkt med en viss vinkel. Refleksjon speiler punkter med hensyn til en linje eller et plan. Skalering endrer avstanden fra origo og kan være ensidig eller uniform. Kombinasjoner av slike operasjoner gir mer komplekse transformasjoner. Avdelingene affine transformasjoner inkluderer lineære transformasjoner etterfulgt av translason og bevarer linjer og forhold mellom parallelle linjer. Prosjektive transformasjoner, eller homografier, beskriver perspektivforandringer og brukes blant annet i bildebehandling og datagrafikk.

I lineær algebra representeres lineære transformasjoner ofte ved matriser. En transformasjon T fra R^n til R^m kan skrives som T(x)=Ax, og sammensetning av transformasjoner tilsvarer matriseprodukt. Inverterbare transformasjoner har determinanten ulik null og har en omvendt transformasjon. Egenverdier og egenvektorer gir innsikt i hvordan en transformasjon strekker eller roterer rommet langs egne retninger.

Anvendelser finnes i datagrafikk, ingeniørfag, robotikk, kartografi og dataanalyse, hvor transformasjoner brukes til å endre koordinater, normalisere data eller beskrive bevegelse og perspektiv.