HalmholtzZerlegung

Die Helmholtzzerlegung, auch Helmholtz-Zerlegung genannt, ist ein wichtiger Satz der Vektoranalysis. Unter geeigneten Randbedingungen lässt sich ein Vektorfeld F: R^3 → R^3 in zwei orthogonale Anteile zerlegen: F(x) = ∇φ(x) + ∇×A(x). Der Term ∇φ ist der irrotationsfreie, der Term ∇×A der divergenzfreie Anteil. Verschiedene Textquellen verwenden unterschiedliche Signenkonventionen, oft F = −∇φ + ∇×A; in der gängigen Form wird F jedoch als Summe aus Gradienten- und Curl-Term geschrieben.

Wahl der Bedingungen und Potenziale. φ ist das Skalarpotential, A das Vektorpotential. Wird die Coulomb-Gauge ∇·A = 0 gewählt, ergeben sich die Zusammenhänge ∇·F = ∇^2φ und ∇×F = −∇^2A. Damit folgen Poisson-Gleichungen: Δφ = ∇·F, ΔA = −∇×F. Auf dem unendlichen Raum oder bei hinreichender Randabnahme lassen sich φ und A eindeutig bestimmen, bis auf eine harmonische Restkomponente, die durch Randbedingungen festgelegt wird.

Berechnung durch Integrale. In ℝ^3 lauten die bekannten Integraldarstellungen für ausreichend glatte F: φ(x) = (1/4π) ∫ (∇'·F(x')) / |x − x'| dV', und A(x) = (1/4π) ∫ (∇'×F(x')) / |x − x'| dV'. Diese Integrale liefern die ersten Bezüge des Feldes aus seinen Divergenz- bzw. Rotationseigenschaften.

Anwendungen und Bedeutung. Die Zerlegung findet breite Anwendung in der Fluiddynamik zur Trennung von irrotations- und divergenzfreien Strömungsteilen, in der Elektromagnetismus-Theorie (Felder in Potential- und Spinoranteile), in der Geophysik, Klima- und Bildverarbeitung sowie in der numerischen Huladosport- und Hodge-Theorie.

Historisch. Der Helmholtz-Satz wurde nach Hermann von Helmholtz im 19. Jahrhundert formuliert und bildet seitdem eine fundamentale Grundlage der Vektor- und Feldtheorie.