Gruppenerweiterungen

Gruppenerweiterungen sind ein fundamentaler Begriff der Gruppentheorie. Eine Gruppenerweiterung von einer Gruppe Q durch eine Gruppe N ist eine Gruppe G, zusammen mit injiziver Abbildung i: N → G und surjektiver Abbildung π: G → Q, so dass N als Normalteil in G liegt, Ker(π) ≅ N und G/N ≅ Q. Die Situation wird oft durch die kurze exakte Sequenz 1 → N → G → Q → 1 beschrieben. Zwei Erweiterungen G1 und G2 von N bzw. Q gelten als äquivalent, wenn es eine isomorphe Abbildung f: G1 → G2 gibt, die die Einbettung von N und die Projektion auf Q kompatibel macht.

Gespaltene Erweiterungen und semidirekte Produkte: Eine Erweiterung heißt gespalten, wenn es einen Schnitt s: Q → G gibt, so dass G durch N und Q als Semidirektes Produkt G ≅ N ⋊φ Q beschrieben werden kann. Die Abbildung φ: Q → Aut(N) bestimmt die Aktionsregel von Q auf N über die Konjugation.

Zentrale Erweiterungen und Kohomologie: Eine Erweiterung heißt zentral, wenn N im Zentrum von G liegt (N ≤ Z(G)). Falls N abelsch ist, lässt sich die Klasse einer Erweiterung durch Elemente der Gruppenkohomologie H^2(Q, N) beschreiben, wobei die Action von Q auf N durch die gegebene Quotenwirkung definiert wird. Die Nullklasse entspricht einer gespaltenen Erweiterung; allgemein liefern Nicht-Null-Kohomologieklassen charakteristische Abweichungen von der Direkt- bzw. Semidirekten Struktur.

Beispiele und Bedeutung: Ein bekanntes Beispiel ist die Heisenberg-Gruppe, eine zentrale Erweiterung von Z^2 durch Z. Finite Beispiele schließen 1 → Z/2 → Z/4 → Z/2 → 1 ein. Gruppenerweiterungen ermöglichen die Konstruktion und Klassifikation von Gruppen mit vorgegebenem Quotienten und Kern und verbinden Strukturfragen mit kohomologischen Methoden.