GreensFunktionMethoden

GreensFunktionMethoden bezeichnen eine Gruppe analytischer und numerischer Verfahren, die Greensche Funktionen verwenden, um lineare Randwertprobleme und lineare Differentialgleichungssysteme zu lösen. Eine Greensche Funktion G(x, x') wirkt als Impulsantwort des Operators L unter gegebenen Randbedingungen und ermöglicht die Lösung einer inhomogenen Gleichung durch eine Integraldarstellung.

Mathematisch erfüllt G die Gleichung L G(x, x') = δ(x - x') mit den gleichen Randbedingungen wie die Lösung u für L u = f, und die Lösung erhält man als u(x) = ∫ G(x, x') f(x') dx' über den Definitionsbereich. In zeitabhängigen Problemen unterscheidet man oft retarded, advanced oder kausale Greensche Funktionen.

Anwendungen finden Greensche Funktionen in vielen Bereichen der Physik und Technik, darunter Elektromagnetismus, Akustik, Wärme- und Diffusionslehre, Festkörperphysik und Quantenmechanik. In der Quantenmechanik und der Many-Body-Theorie dient die Greensche Funktion als zentrale Größe zur Beschreibung von Zustands- und Anregungsprozessen; zentrale Beziehungen wie die Dyson-Gleichung verbinden vollständige und ungestörte Funktionen über Selbstenergien.

Numerisch werden Greensche Funktionen direkt durch Diskretisierung des Operators oder durch Formulierungen als Integralgleichungen gewonnen. Häufige Ansätze sind die Inversion der diskretisierten Operatoren (Finite-Difference-, Finite-Elemente-Verfahren), die Verwendung von Eigenfunktionsausdehnungen sowie die Formulierung als Integralgleichung mit dem Greenschen Kern. Die Behandlung von Singularitäten bei x = x' erfordert Regularisierung oder spezielle Quadraturregeln.

Der Begriff geht auf George Green zurück, der im 19. Jahrhundert Grundlagen dafür entwickelte und damit die Methode zur Lösung linearer Randwertprobleme begründete. Seitdem ist das Greensche Funktionskonzept zentral in vielen Theorien und in der numerischen Mathematik etabliert.

Siehe auch: Greensche Funktion, Dyson-Gleichung, Integralgleichungen, Operator-Theorie.