Gradientenbedingungen

Gradientenbedingungen bezeichnen Randbedingungen, bei denen der Gradient einer gesuchten Funktion u auf der Grenze festgelegt wird. Statt den Funktionswert u auf dem Rand vorzugeben, wird hier der Gradient oder der Fluss durch die Grenze spezifiziert. Formal entsteht dies häufig in einer Domain Ω mit Rand ∂Ω durch eine Bedingung wie ∇u(x)·n(x) = g(x) für x ∈ ∂Ω, wobei n der äußere Normalenvektor ist.

Häufige Formen sind Neumann- und oblique-Derivative-Bedingungen. Die Neumann-Bedingung lautet ∂u/∂n = g auf ∂Ω, das heißt der normale Gradient (Fluss) ist festgelegt. Eine oblique-derivative-Bedingung hat Form ∇u·β = g auf ∂Ω, wobei β ein vorgegebenes Vektorfeld ist. Robuste Varianten verbinden auch den Funktionswert, etwa Robin-Bedingungen αu + β∂u/∂n = γ; solche Bedingungen betreffen sowohl u als auch seinen Gradient. Reine Gradientenkonditionen sind seltener als Dirichletbedingungen, liefern aber wichtige Informationen über Fluxen und Transfer an der Grenzfläche.

Anwendungen finden sich in der Physik und Technik, etwa bei Wärmeleitung und Massentransport, wo Neumann-Bedingungen den zugeführten oder abgeführten Fluss an der Oberfläche modellieren, oder in der Elektrostatik, wo der Normalfluss des Feldes vorgegeben wird. In der Elastizität können Gradientenkonditionen Grenzträge oder Spannungen festlegen.

Mathematisch reduzieren sich Gradientenkonditionen oft auf natürliche Randbedingungen in der schwachen Form elliptischer PDEs. Bei Neumann-Problemen ist die Lösung bis zu einer additive Konstante eindeutig; es bestehen Kompatibilitätsbedingungen, z. B. ∫Ω f dx = ∫∂Ω g ds, die Existenz und Eindeutigkeit beeinflussen. Numerisch erscheinen Gradientenrandbedingungen häufig in Finite-Elemente-Formulierungen als natürliche Randbeiträge in der Bilinearform.