Gradientbasierte

Gradientbasierte Methoden sind Optimierungs- oder Lösungsverfahren, die die Ableitung einer Zielfunktion nutzen, um Richtungen zu bestimmen, in denen sich der Funktionswert verbessert oder verschlechtert. Sie beruhen auf dem Gradienten, dem Vektor der partiellen Ableitungen, und verwenden ihn als Information der ersten Ordnung, um iterativ bessere Lösungen zu suchen. Vorausgesetzt wird Differenzierbarkeit der Zielfunktion; oft reicht eine lokale Information des Funktionsverhaltens aus.

Zu den klassischen gradientbasierten Verfahren gehört der Gradientenabstieg, bei dem in jedem Schritt der Negative des Gradienten die Variable aktualisiert wird. In großen Datensätzen werden Erweiterungen wie der stochastische Gradientenabstieg (SGD) eingesetzt, der mit zufälligen Datenmengen arbeitet. Weitere Varianten umfassen Momentum, Nesterov-beschleunigte Gradientenmethode und adaptive Lernraten-Methoden wie AdaGrad, RMSprop und Adam, die die Schrittweite anhand vergangener Gradienten adaptieren.

Anwendungsgebiete finden sich in der maschinellen Lernmodellierung, konvexer Optimierung, Parameterabschätzung in Inversen Problemen und Regelungstechnik. In gut konditionierten, konvexen Problemen konvergieren gradientbasierte Verfahren oft gegen globale Optima; bei nicht konvexen Problemen sind häufig lokale Optima oder Sattelpunkte das Ziel.

Die Vorteile gradientbasierter Methoden liegen in ihrer Einfachheit, Skalierbarkeit und Effizienz in hohen Dimensionen. Zu den Einschränkungen gehören die Empfindlichkeit gegenüber der Wahl der Lernrate, der Kosten der Gradientenberechnung und die Abhängigkeit von Differenzierbarkeit. Erweiterungen wie Linien- oder Vertrauensbereichssuchen verbessern Robustheit und Konvergenzverhalten.