GompertzModell

Das Gompertz-Modell ist ein mathematisches Wachstumsmodell, das ein sigmoides Wachstum beschreibt, das sich nach einer anfänglichen Phase der raschen Zunahme langsamer dem Grenzwert nähert. Es stammt aus der Arbeit von Benjamin Gompertz (1825) und wird in Biologie, Demografie, Tumorbiologie, Mikrobiologie und Medizin eingesetzt, um Größenentwicklung, Zellkulturen oder Alterssterblichkeit abzubilden.

Die Grundform des Modells kann durch eine Differentialgleichung dN/dt = -a N ln(N/K) beschrieben werden, wobei N(t) die Größe zur Zeit t, K die assoziierte Grenzgröße und a>0 der Wachstumsparameter ist. Die Lösung lautet N(t) = K * exp( ln(N0/K) * e^{-a t} ), mit N0 = N(0). Eine dreiparametrige Darstellung lautet N(t) = A * exp( -b e^{-c t} ), wobei A die Obergrenze ist, und b>0, c>0 Parameter. Damit gilt N(0) = A e^{-b}.

Eigenschaften: Das Modell erzeugt eine schraubig-sigmoide Kurve mit anfänglicher rascher Zunahme und anschließender Abflachung gegen die Grenze K oder A. Eine nützliche Transformation ist ln(-ln(N/K)) = ln(-ln(N0/K)) - a t, die zu einer Geraden in t führt und eine lineare Schätzung von a ermöglicht.

Anwendungen: Hauptsächlich in der Modellierung von Tumorwachstum, Zellpopulationen, Biomasse- oder Pflanzenwachstum sowie in der Demografie zur Beschreibung der altersabhängigen Sterblichkeit (Gompertz-Gesetz). Parameter werden meist durch nichtlineare Regression aus Messdaten geschätzt; drei Parameter ermöglichen flexiblere Startwerte, können aber Identifizierbarkeitsprobleme verursachen.

Siehe auch: Gompertz-Gesetz, Wachstumsmodelle, logistische Modelle.