GleitkommaArithmetik

Gleitkommaarithmetik bezeichnet die Repräsentation und Berechnung reeller Zahlen mit endlicher Genauigkeit in Computersystemen. Typischerweise werden Zahlen als Vorzeichenbit, Exponent und Mantisse dargestellt. Die Zahl wird normalisiert dargestellt, wobei die Mantisse in der Regel eine führende 1 hat, und der Exponent entsprechend skaliert wird. Zusätzlich gibt es subnormale Zahlen, die eine geringere Exponentennormalisierung verwenden, um sehr kleine Werte darzustellen.

Der verbreitetste Standard ist IEEE 754, der Formate wie single precision (32 Bit) und double precision (64 Bit) definiert. Ein Sign bit, ein Exponent mit Bias und eine Mantisse legen die Zahl fest. Neben normalen Zahlen existieren Subnormale, NaN (Not a Number) und Unendlichkeiten. Rundungsmodi umfassen Round-to-Nearest, Round-Toward-Zero sowie Round-Toward-±Infinity. In der Praxis stimmt kein Ergebnis exakt mit der mathematischen Rechenregel überein; Operationen verhalten sich nicht immer assoziativ oder distributiv.

Zu den zentralen Fehlerquellen gehören Rundungsfehler, das Canceling bei Subtraktionen fast gleicher Zahlen sowie Überlauf und Unterlauf. Begriffe wie Machine Epsilon und ULP (Unit in the Last Place) beschreiben typische Größeneinheiten der Genauigkeit. Der Einsatz von Fused Multiply-Add (FMA) reduziert in vielen Fällen Rundungsfehler, indem Multiplikation und Addition in einer einzigen Genauigkeitsstufe erfolgen.

In der Praxis ermöglicht Gleitkommaarithmetik schnelle, speichereffiziente Berechnungen, ist jedoch limitiert durch endliche Präzision. Numerische Analysen untersuchen Stabilität, Fehlergrenzen und geeignete Algorithmen, die gegenüber Rundungsfehlern robust sind. Als Alternative oder Ergänzung werden auch Arbitrary-Precision-Arithmetik oder spezialisierte Rechensysteme angeboten.